研究2024-06-06: 大小不定の記数法

今日の数学研究、きっかけは「n乗したら1と同値になる」という性質だけを満たす数体系を考えられないかというアイデアを掘り返して別の方向に進んだという流れ。

たとえば、4乗したら1と同値になるのは、わかる人はすぐわかるはずだけれど、i。

そして当たり前と言えば当たり前だけど-iも。

でもべつに-1も4乗したら1だし、1も4乗したら1。

つまり、

方程式

の解は

という因数分解によって導かれる4次の方程式の解の個数通り、4つの解を持っているわけです。

そして、考えたいのは「特定の解に依存せず、n次方程式で表される等式の性質だけを満たす数システムの解明」です。

黄金進数

今までの記数法の研究で、黄金比は数の展開がしやすいのが経験則にあったので、今回は黄金比に焦点を当てました。

たとえば黄金比を 、 としたときに、うまく式変形すると

という等式を導くことができ、これが「黄金進数」(Φ進数)を求めるための「2の置換ルール」となります。

たとえば、6の黄金進数表現を知りたければ、係数の2をどんどん置換して

から と2進数と同様な01列が得られます（ただし別の同値表現があることはここでは触れません）。

黄金比カルテット

ここで突然ですが、

という、正負合わせて4つの黄金比を解として持つ方程式を考えます。

これを展開すると

となり、

係数を調整して

となります。

としたときも としたときも、 あるいは正負を逆転したときも、この記数法の係数表は以下のように左右対称になります。

あるいは

としてバランスが取れます。

偶数乗しか使ってないのでつまるところΦ^2進数ってことにはなりそうですが、ポイントは と の大小が不確定でも記数法として成立していることです。

いったん成果はここまで。

知りたいのは「6乗して1と同値になる数」

絶賛研究中なのでメモ程度ですが、最初に求めたいと思っていたのはこれです。

因数分解すると

これについて、アイゼンシュタイン整数よりもメタな捉え方をしようと思っています。