行列の平方根

問 1: 2 乗すると 2×2 の単位行列になる行列を単位行列以外でひとつ挙げてください

問 2: 2 乗すると 問 1 で挙げた行列になる行列をひとつ挙げてください

(※ここでいう 2 乗は、2 つの同値な行列の行列積を求めることとします。)

問 1 の解答例はこちらです。

Mathematica で MatrixPower という関数が活躍します。

MatrixPower[( {
    {a, b},
    {c, d}
} ), 2]

これを単位行列にする方程式の解を求めればいいのです。

つまり以下の 4 式

Mathematica でダイレクトに

Solve[{ {a^2 + b c, a b + b d}, {a c + c d, b c + d^2} } == ( {
    {1, 0},
    {0, 1}
} )]

結果は

{
    {c -> (1 - a^2)/b, d -> -a},
    {a -> -1, b -> 0, d -> 1},
    {a -> 1, b -> 0, d -> -1},
    {a -> -1, b -> 0, c -> 0, d -> -1},
    {a -> -1, b -> 0, c -> 0, d -> 1},
    {a -> 1, b -> 0, c -> 0, d -> -1},
    {a -> 1, b -> 0, c -> 0, d -> 1}
}

この中から一番簡単な行列を挙げました。

問 2 は、これも MatrixPower を使えば一発でした。

MatrixPower[( {
    {0, 1},
    {1, 0}
} ), 1/2]

なんと、MatrixPower 関数は整数乗以外も対応していたのです！

結果は

つまり、以下の式が成立します。

なんか綺麗なのか複雑なのかよくわからない不思議な結果です。