行列の平方根

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研究
数学
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平方根

行列の平方根

問1: 2乗すると2×2の単位行列になる行列を単位行列以外でひとつ挙げてください

問2: 2乗すると 問1 で挙げた行列になる行列をひとつ挙げてください

(※ここでいう2乗は、2つの同値な行列の行列積を求めることとします。)

問1の解答例はこちらです。

MathematicaでMatrixPowerという関数が活躍します。

MatrixPower[( {
    {a, b},
    {c, d}
} ), 2]

これを単位行列にする方程式の解を求めればいいのです。

つまり以下の4式

Mathematicaでダイレクトに

Solve[{ {a^2 + b c, a b + b d}, {a c + c d, b c + d^2} } == ( {
    {1, 0},
    {0, 1}
} )]

結果は

{
    {c -> (1 - a^2)/b, d -> -a},
    {a -> -1, b -> 0, d -> 1},
    {a -> 1, b -> 0, d -> -1},
    {a -> -1, b -> 0, c -> 0, d -> -1},
    {a -> -1, b -> 0, c -> 0, d -> 1},
    {a -> 1, b -> 0, c -> 0, d -> -1},
    {a -> 1, b -> 0, c -> 0, d -> 1}
}

この中から一番簡単な行列を挙げました。

問2は、これもMatrixPowerを使えば一発でした。

MatrixPower[( {
    {0, 1},
    {1, 0}
} ), 1/2]

なんと、MatrixPower関数は整数乗以外も対応していたのです!

結果は

つまり、以下の式が成立します。

なんか綺麗なのか複雑なのかよくわからない不思議な結果です。

著者紹介

岩淵夕希物智 butchi_y

言語を作る博士(工学)

ART, Research, Techの人

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