研究2024-05-28: 円周率の整数列

無理数の近似について考えていて、「初期値を与えて、近似したい数に徐々に近似される漸化式があったらな～」というモチベーションの元、いろいろ研究していました。

当初は強欲に、2倍2倍と桁数が確定していく方法を考えていましたが、べつに1桁ずつ確定していってもありがたいのですよね。

3, 31, 314, 3141, 31415, 314159, 3141592, 31415926, 314159265, 
3141592653, 31415926535, 314159265358, 3141592653589, 31415926535897, 
314159265358979, 3141592653589793, ...

こんな増え方をする数列の一般項が求められたらいいのに、ってことです。

調べてみた結果、この数列はどうやらオンライン整数列大辞典に今年になって研究が進んでいる整数列 (A011545) っぽいです。 （2進数版 A068425 はもっと前からあったのに意外。）

言ってしまえばこうです。

ただし、これは の任意の桁数の正確な値を知っているからこそ求められる定義式なので、これを を使わずに表せる式があるかどうかということが気になるところなのです。

特性方程式のようなものから作れるような希望も持ちつつ、初期値を与えるだけで錬金術のように好きな数に漸近させるのは無理筋じゃないかという諦め感も少なからずあります。

さてどうなることやら。