「オロチ数」の発展その2: 「コハク数」

本記事は素数大富豪アドベントカレンダー2024の12日目の記事です。

昨日の記事は二世さんの素数大富豪のルールを多言語化したいでした。素数大富豪は世界で受け入れられるポテンシャルあるから重要！！！

前回はオロチ数と四つ子等を併せた「キュービコリ数」という独自の数を定義し、戦術として使えることを示しました。

今回の重要キーワードはまたしても麻雀用語 (スラング？) の「西ヨーロッパ」です。

四つ子より自由な「ハクジュ数」

キュービコリ数とともに、マスプライム杯2024に向けた戦術として生まれました。

その名も「ハクジュ数」！ （ネーミングは「九十九頭龍数」から変更しました。）

1～9を使った2桁の最大が99であることから、99→白寿→ハクジュという連想で命名しました。

9月9日、「オロチ数」が「九十九頭龍数」に進化して新しい戦術が生まれました！！！#素数大富豪

— 岩淵夕希物智 (@butchi_y) September 9, 2024

基本n枚n桁出しとして、上2桁を自由にしたうえで高確率で素数が出る組み合わせです。 （他の桁を使ってもよいのですが、ここではわかりやすさのため）

たとえば XX4199 は固定札4桁で最も良い性質を持ったハクジュ数です。

（以下、 太字 は素数、 斜体 は3の倍数、通常文字は非素数とします）

なお、下位互換を含めて完全に自由にしてもいいのですが、今回は強い素数を出せることを意識して下位互換は除外（打ち消し線）することにします。

ここで、6枚6桁出しでの例として、ハクジュ数の XX4199 と並びを変えた XX9149 を見てみましょう。

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9
1X	114199	124199	134199	144199	154199	164199	174199	184199	194199
2X	214199	224199	234199	244199	254199	264199	274199	284199	294199
3X	314199	324199	334199	344199	354199	364199	374199	384199	394199
4X	414199	424199	434199	444199	454199	464199	474199	484199	494199
5X	514199	524199	534199	544199	554199	564199	574199	584199	594199
6X	614199	624199	634199	644199	654199	664199	674199	684199	694199
7X	714199	724199	734199	744199	754199	764199	774199	784199	794199
8X	814199	824199	834199	844199	854199	864199	874199	884199	894199
9X	914199	924199	934199	944199	954199	964199	974199	984199	994199

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9
1X	119149	129149	139149	149149	159149	169149	179149	189149	199149
2X	219149	229149	239149	249149	259149	269149	279149	289149	299149
3X	319149	329149	339149	349149	359149	369149	379149	389149	399149
4X	419149	429149	439149	449149	459149	469149	479149	489149	499149
5X	519149	529149	539149	549149	559149	569149	579149	589149	599149
6X	619149	629149	639149	649149	659149	669149	679149	689149	699149
7X	719149	729149	739149	749149	759149	769149	779149	789149	799149
8X	819149	829149	839149	849149	859149	869149	879149	889149	899149
9X	919149	929149	939149	949149	959149	969149	979149	989149	999149

XX4199 を XX9149 と比べると、素数である率が 19/45 (≒42.4%) と　8/45 (≒17.78%) 、3倍チェック後だと 19/30 (≒63.3%) と　8/30 (≒26.67%) と で、倍以上素数が出やすくなります。

かなりの密度ですね。

なお、何％からがハクジュ数、みたいな線引をしていないので定義は曖昧ですが、だいたい 16/45 以上見つかったらハクジュ数と言ってよいでしょうか。 ハクジュ数の特徴として、桁数が増えても割とコンスタントに見つかるという点があります。

言い換えれば、適当に出したときに素数を当てる確率が桁数の増加によって減っていくのに対し、ハクジュ数を知っていれば桁数の増加にほとんど依存せずに高確率で素数を当てられるということです。

自由度を持ちつつ確実な「ベージュ数」

四つ子素数は末尾1,3,7,9の自由度(4通り)があって、
私が命名したオロチ素数(オロチ数)は先頭1,2,4,5,7,8などの自由度(約6通り)があるけれど、
両方の性質を備え持ったかなり自由が高い数はまだ見つけられていません。
挙動を見るに、2つの自由度を合わせて6〜8通りが現実ラインかなと。#素数大富豪

— 岩淵夕希物智 (@butchi_y) August 27, 2024

自由度が9×9だとさすがに大きすぎるので、特に使えると嬉しい偶数札を入れて絞り込む戦術、 その名も「ベージュ数」です！

ちなみに2,4,6,8という組み合わせは麻雀では「西ヨーロッパ」と呼ばれ、たまたまですが前回の記事の「スジ」と同じように関連付けられました。

2,4,6,8を使った2桁の最大が88であることから、88→米寿→ベージュという連想で命名しました。

ベージュ数の例

ベージュ数の一番簡単な例は XX533 です。

	X2	X4	X6	X8
2X	22533	24533	26533	28533
4X	42533	44533	46533	48533
6X	62533	64533	66533	68533
8X	82533	84533	86533	88533

3倍チェック後にすべて素数になるものを 正ベージュ数 と呼ぶとすると、正ベージュ数は6枚6桁までではこれだけです。

7枚7桁だと XX18581 XX63827 XX79743 の3つが見つかります。

	X2	X4	X6	X8
2X	2218581	2418581	2618581	2818581
4X	4218581	4418581	4618581	4818581
6X	6218581	6418581	6618581	6818581
8X	8218581	8418581	8618581	8818581

	X2	X4	X6	X8
2X	2263827	2463827	2663827	2863827
4X	4263827	4463827	4663827	4863827
6X	6263827	6463827	6663827	6863827
8X	8263827	8463827	8663827	8863827

	X2	X4	X6	X8
2X	2279743	2479743	2679743	2879743
4X	4279743	4479743	4679743	4879743
6X	6279743	6479743	6679743	6879743
8X	8279743	8479743	8679743	8879743

8枚8桁だと XX166341 XX363317 XX584831 XX672527 の4つです。

	X2	X4	X6	X8
2X	22166341	24166341	26166341	28166341
4X	42166341	44166341	46166341	48166341
6X	62166341	64166341	66166341	68166341
8X	82166341	84166341	86166341	88166341

	X2	X4	X6	X8
2X	22363317	24363317	26363317	28363317
4X	42363317	44363317	46363317	48363317
6X	62363317	64363317	66363317	68363317
8X	82363317	84363317	86363317	88363317

	X2	X4	X6	X8
2X	22584831	24584831	26584831	28584831
4X	42584831	44584831	46584831	48584831
6X	62584831	64584831	66584831	68584831
8X	82584831	84584831	86584831	88584831

	X2	X4	X6	X8
2X	22672527	24672527	26672527	28672527
4X	42672527	44672527	46672527	48672527
6X	62672527	64672527	66672527	68672527
8X	82672527	84672527	86672527	88672527

9枚9桁だとかなり大量に見つかり、たとえば XX8346221 などがあります。

	X2	X4	X6	X8
2X	228346221	248346221	268346221	288346221
4X	428346221	448346221	468346221	488346221
6X	628346221	648346221	668346221	688346221
8X	828346221	848346221	868346221	888346221

このように、3の倍数チェックさえすれば百発百中なのがとても嬉しいですね。

もっと嬉しい「コハク数」はなにか

以上、紹介した「ハクジュ数」や「ベージュ数」のような、上位2桁を自由にする戦術を「コハク数」と総称するとします。

コハク数はまだ未知数の利便性を持っていると考えられます。

自由度3つだったり、末尾の組み換えによって広がりを見せたりと、嬉しいコハク数を発掘できたらご報告ください。

明日はもりしーさんの 素数大富豪で遊ぼう会in札幌　開催報告/告知 の記事です。