黄金比と1だけを使って2025

2025年あけましておめでとうございます

黄金比と1だけを使って2025を表しました。

発端

年が明けるとその年の数学的性質の発表会みたいな感じになって私も一時期探していた年もありましたが、今年は特に何も考えてませんでした。

そんな中、世間的には $2025=45^2$ と45の2乗である性質に付随する発見が目立っていました。

そして数日前、黄金比「だけ」を使って2025を表す数式を目にしました。

登場する数として黄金比「だけ」を使っているのはとても素晴らしいのですが、 $(\Phi +\Phi +\Phi +\Phi )/\Phi =4$ としているところに無理矢理感を感じてしまって自分なりの別表現をしたところ、 $\Phi (=\mathrm{1.618...}),\varphi (=\mathrm{0.618...}),1$ の3種類（実際は2種類でも足りるはず）で表す妥協をしました。

2025を表す数式

それでは主役の式をどうぞ。

$$\begin{array}{rl}2025& ={\left(\left(\Phi \varphi +\Phi -\varphi +1\right)\left(\Phi +\varphi \right)\right)}^{\left(\Phi \varphi +1\right)\left(\Phi -\varphi +1\right)}\\ & \Phi =\frac{\sqrt{5}+1}{2},\varphi =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{array}$$

解説です。

ご多分に漏れずこの式も $2025=45^2$ の恩恵に預かり、因数を括りだすと ${\left(3\times \sqrt{5}\right)}^{\left(2\times 2\right)}$ となります。

黄金比の性質を用いて $3,\sqrt{5},2$をそれぞれ表しています。

我ながら美しいのではと思いながら重箱の隅を自らつつくのですが、 $\varphi =\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ は $\varphi ={\Phi }^{-1}$ とも書けるので、 $\Phi \varphi =1$ の自明度がかなり高く、それで単に $1+1$ みたいな微妙な二重表現をかわしている感じになってます。

さらに、 「4乗」を表すのが「^(2^2)」か「^(2✕2)」の二択になって、ここも二重表現を避けるために $\left(\Phi \varphi +1\right)$ と $\left(\Phi -\varphi +1\right)$ と無駄に書き分けています。

近似計算

JavaScriptでの近似値の検証は以下です。

let P = (Math.sqrt(5) + 1) / 2
let p = (Math.sqrt(5) - 1) / 2

let val = ((P * p + P - p + 1) * (P + p)) ** ((P * p + 1) * (P - p + 1))
console.log(val)
// => 2025.0000000000005

（JavaScriptでは浮動小数点数の関係上、若干の誤差が出ます）