複素数を行列で表現する方法（二元数も）

行列で数システムを扱うととても便利なので、備忘録程度に。

結論から言うと、「複素数」をはじめ、「分解型複素数」「二重数」（それらを総称する「二元数」）はすべて行列で表現できます。

$$i=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),j=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),ϵ=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$$

1とマイナス1

これが $1$ に相当（単位行列）

$$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

これは $-1$ に相当 ( $-1\times -1=1$ )

$$\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

虚数単位 i

これが $i$ に相当 ( $i\times i=-1$ )

$$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

対になっているこれが $-i$ に相当 ( $-i\times -i=-1$ )

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

分解型複素数の虚数単位 j と二重数の虚数単位 ε

そして、これが分解型複素数の虚数単位 $j$ に相当（2乗したら $1$ になる、 $1$ でも $-1$ でもない数）

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

そして、これが二重数の虚数単位 $ϵ$ に相当（2乗したら $0$ になる、 $0$ でない数）

$$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

過去の記事では、分解型複素数を指して「2乗すると1になる数」と説明していました。