[{"data":1,"prerenderedAt":22},["ShallowReactive",2],{"post-collatz-one-way-to-complexify-loop":3},{"_id":4,"_path":5,"title":6,"description":7,"date":8,"heroImagePath":9,"tagArr":10,"relatedPost":14,"categoryArr":18,"preface":7,"body":19,"htmlContent":20,"excerptHtml":21},"content:post:collatz-one-way-to-complexify-loop.md","/post/collatz-one-way-to-complexify-loop/","コラッツ問題の複素化 (二次元化) で見つけた「似たループ」と「長いループ」","","2025-12-30T19:15:00+09:00","/img/post/collatz-one-way-to-complexify-loop/hero.png",[11,12,13],"research","math","collatz",[15,16,17],"collatz-one-way-to-complexify","collatz-peak-first","interspersion-duplecate-free-number-table",[],"\n# コラッツ問題の複素化 (二次元化) で見つけた「似たループ」と「長いループ」\n\n\nコラッツ問題は「偶数は2で割る、奇数は3倍して1を足す」という操作を繰り返すと、最終的に1に到達するかどうかを問う問題です。\n\nそして、コラッツ予想とは、全ての正の整数についてこの操作を繰り返すと最終的に1に到達する、という予想です。\n\nこの予想は未解決問題として有名ですが、私はこのコラッツ問題を「複素数」（ガウス整数）に拡張する方法を考案しました。\n\nこの拡張方法については、以前の記事「[これも一つのコラッツ問題の複素化](/post/collatz-one-way-to-complexify/)」で詳しく説明しています。\n\n\u003Carticle-card path=\"/post/collatz-one-way-to-complexify/\">\u003C/article-card>\n\n\u003C!--more-->\n\nコラッツ問題は、奇数に対して「3倍して1を足す」という操作を行いますが、これは奇数の性質として、その結果が偶数になることがうまく働いています。逆に、仮に偶数に対して「3倍して1を足す」を行うと、結果は奇数になってしまい、次に2で割ることができなくなります。\n\n複素整数での偶奇性に着目すると、奇数・偶数の概念に4通りの選択肢が存在します。\n\n- 実部が奇数で虚部も奇数\n- 実部が奇数で虚部が偶数\n- 実部が偶数で虚部が奇数\n- 実部が偶数で虚部も偶数\n\n実部も虚部も偶数ならば、2で割ることができます。実部も虚部も奇数の場合、3倍して1を足すと、実部も虚部も偶数になります。したがって、実部も虚部も奇数の場合に「3倍して1を足す」を適用するのは自然です。\n\nしかし、実部が奇数で虚部が偶数、あるいは実部が偶数で虚部が奇数の場合には、「3倍して1を足す」を適用すると、実部か虚部のどちらかが奇数のまま残ってしまいます。これでは次に2で割ることができません。\n\nこのガウス整数の偶奇性は以前にも見覚えがあったので、その時の経験を活かして、複素数版のコラッツ問題を定義しました。\n\n前回の記事では、各象限で対称になるように定義しましたが、今回は以下のように定義します。（実部 $a$ と虚部 $b$ がともに非負整数）\n\nまた、挙動としては、対照的なものになりますので、基本的に $a \\geq b$ とします。\n\n$$\nf_{\\text{complex}}(a + b i) = \\begin{cases}\n\\displaystyle \\frac{a + b i}{2} & (a が偶数 かつ b が偶数) \\\\\n3 a + 1 + 3 b i & (a が奇数 かつ b が偶数) \\\\\n3 a + (3 b + 1) i & (a が偶数 かつ b が奇数) \\\\\n3 a + 1 + (3 b + 1) i & (それ以外)\n\\end{cases}\n$$\n\n偶奇判定以外に実部と虚部の関わりは入ってないため、ベクトルとして定義することもできます。\n\n$$\nf_{\\text{vector}}(a, b) = \\begin{cases}\n\\displaystyle \\left(\\frac{a}{2}, \\frac{b}{2} \\right) & (a が偶数 かつ b が偶数) \\\\\n\\left(3 a + 1, 3 b \\right) & (a が奇数 かつ b が偶数) \\\\\n\\left(3 a, 3 b + 1 \\right) & (a が偶数 かつ b が奇数) \\\\\n\\left(3 a + 1, 3 b + 1 \\right) & (それ以外)\n\\end{cases}\n$$\n\nこっちの方が見やすいかもしれません。\n\nたとえば、初期値 $(20, 32)$ から始めると、以下のようになります。\n\n```plaintext\n(20, 32), (10, 16), (5, 8), (16, 24), (8, 12), (4, 6), (2, 3), (6, 10), (3, 5), (10, 16), (5, 8), ...\n```\n\nこのように、既に通ってきた点に戻って来て、以降は同じループを繰り返します。\n\n## 発散していそうな長い列\n\nまた、初期値 $(3, 1)$ のような絶対値が小さい点から始めると、以下のようになります。\n\n```plaintext\n(3, 1), (10, 4), (5, 2), (16, 6), (8, 3), (24, 10), (12, 5), (36, 16), (18, 8), (9, 4), (28, 12), (14, 6), (7, 3), (22, 10), (11, 5), (34, 16), (17, 8), (52, 24), (26, 12), (13, 6), (40, 18), (20, 9), (60, 28), (30, 14), (15, 7), (46, 22), (23, 11), (70, 34), (35, 17), (106, 52), (53, 26), (160, 78), (80, 39), (240, 118), (120, 59), (360, 178), (180, 89), (540, 268), (270, 134), (135, 67), (406, 202), (203, 101), (610, 304), (305, 152), (916, 456), (458, 228), (229, 114), (688, 342), (344, 171), (1032, 514), (516, 257), (1548, 772), (774, 386), (387, 193), (1162, 580), (581, 290), (1744, 870), (872, 435), (2616, 1306), (1308, 653), (3924, 1960), (1962, 980), (981, 490), (2944, 1470), (1472, 735), (4416, 2206), (2208, 1103), (6624, 3310), (3312, 1655), (9936, 4966), (4968, 2483), (14904, 7450), (7452, 3725), (22356, 11176), (11178, 5588), (5589, 2794), (16768, 8382), (8384, 4191), (25152, 12574), (12576, 6287), (37728, 18862), (18864, 9431), (56592, 28294), (28296, 14147), (84888, 42442), (42444, 21221), (127332, 63664), (63666, 31832), (31833, 15916), (95500, 47748), (47750, 23874), (23875, 11937), (71626, 35812), (35813, 17906), (107440, 53718), (53720, 26859), (161160, 80578), (80580, 40289), (241740, 120868), (120870, 60434), ...\n```\n\nこのように、非常に長い列が生成され、ループに入る気配がありません。\n\n察するに、通常のコラッツの問題（古典コラッツ問題と呼ぶとします）と違って、実部と虚部のどちらかが奇数である場合にも「3倍して1を足す」を適用するため、値が急激に増加しやすくなっている（減るタイミングが少ない）ようです。\n\n## ループ\n\n一方で、いくつかのループも発見しました。\n\n```plaintext\n(1, 0), (4, 0), (2, 0), (1, 0), ...\n```\n\nこれは古典コラッツ問題で必ず到達するループと同じです。\n\n### ほぼ自明なループ\n\n```plaintext\n(1, 1), (4, 4), (2, 2), (1, 1), ...\n```\n\nこれは、実部と虚部が等しい場合に自明に存在するループです。\n\n### 短いループ\n\n![複素化されたコラッツ問題の短いループ](/img/post/collatz-one-way-to-complexify-loop/1-loop-small.png)\n\n以下のループは周期8と比較的短いループです。\n\n```plaintext\n(3, 2), (10, 6), (5, 3), (16, 10), (8, 5), (24, 16), (12, 8), (6, 4), (3, 2), ...\n```\n\nその他、周期13のループが5種類見つかりました。\n\n![](/img/post/collatz-one-way-to-complexify-loop/2-loop-placement.png)\n\nこの5種類を見比べると、実部と虚部の値が似ていることがわかります。\n\n挙動としてはおそらく、ループにちょうどいい値というものが存在していて、その周辺に似たループができているのだと考えられます。\n\n### とても長いループ\n\n探索を続けていると、非常に長いループも見つかりました。\n\n以下のループは周期が75もあります。\n\n```plaintext\n(59, 42), (178, 126), (89, 63), (268, 190), (134, 95), (402, 286), (201, 143), (604, 430), (302, 215), (906, 646), (453, 323), (1360, 970), (680, 485), (2040, 1456), (1020, 728), (510, 364), (255, 182), (766, 546), (383, 273), (1150, 820), (575, 410), (1726, 1230), (863, 615), (2590, 1846), (1295, 923), (3886, 2770), (1943, 1385), (5830, 4156), (2915, 2078), (8746, 6234), (4373, 3117), (13120, 9352), (6560, 4676), (3280, 2338), (1640, 1169), (4920, 3508), (2460, 1754), (1230, 877), (3690, 2632), (1845, 1316), (5536, 3948), (2768, 1974), (1384, 987), (4152, 2962), (2076, 1481), (6228, 4444), (3114, 2222), (1557, 1111), (4672, 3334), (2336, 1667), (7008, 5002), (3504, 2501), (10512, 7504), (5256, 3752), (2628, 1876), (1314, 938), (657, 469), (1972, 1408), (986, 704), (493, 352), (1480, 1056), (740, 528), (370, 264), (185, 132), (556, 396), (278, 198), (139, 99), (418, 298), (209, 149), (628, 448), (314, 224), (157, 112), (472, 336), (236, 168), (118, 84), (59, 42), ...\n```\n\n![複素化されたコラッツ問題のとても長いループ](/img/post/collatz-one-way-to-complexify-loop/3-loop-large.png)\n\n古典コラッツ問題で言う「27」から始まる遷移とは訳が違って、長い遷移ののちにいずれ1に到達するわけではなく、このループの中を永遠に回り続けます。\n\nこのループは非常に長いですが、実際にはもっと長いループも存在する可能性があります。\n\nが、かなり広い範囲を探索しても見つからないため、非常に稀なループであることは間違いなさそうです。\n\n## まとめ\n\n複素数版のコラッツ問題を定義し、いくつかのループと非常に長い列を発見しました。\nこの複素数版コラッツ問題の性質や、発見したループの特徴については、今後さらに研究を進めていきたいと考えています。","\u003Ch1>コラッツ問題の複素化 (二次元化) で見つけた「似たループ」と「長いループ」\u003C/h1>\n\u003Cp>コラッツ問題は「偶数は2で割る、奇数は3倍して1を足す」という操作を繰り返すと、最終的に1に到達するかどうかを問う問題です。\u003C/p>\n\u003Cp>そして、コラッツ予想とは、全ての正の整数についてこの操作を繰り返すと最終的に1に到達する、という予想です。\u003C/p>\n\u003Cp>この予想は未解決問題として有名ですが、私はこのコラッツ問題を「複素数」（ガウス整数）に拡張する方法を考案しました。\u003C/p>\n\u003Cp>この拡張方法については、以前の記事「\u003Ca href=\"/post/collatz-one-way-to-complexify/\">これも一つのコラッツ問題の複素化\u003C/a>」で詳しく説明しています。\u003C/p>\n\u003Cdiv class=\"article-card\" style=\"max-width:960px; border:1px solid #e0e0e0; border-radius:8px; padding:12px; margin:16px 0; display:flex; gap:12px; align-items:flex-start;\">\n  \u003Cimg src=\"/img/post/collatz-one-way-to-complexify/hero.png\" alt=\"これも一つのコラッツ問題の複素化\" style=\"width:200px; height:125px; object-fit:cover; border-radius:4px; flex-shrink:0;\">\n  \u003Cdiv style=\"flex:1; min-width:0;\">\n    \u003Ca href=\"/post/collatz-one-way-to-complexify/\" style=\"text-decoration:none; color:inherit;\">\n      \u003Cdiv style=\"font-size:16px; font-weight:600; line-height:1.2rem; margin-bottom:6px; overflow:hidden; display:-webkit-box; -webkit-line-clamp:2; -webkit-box-orient:vertical;\">これも一つのコラッツ問題の複素化\u003C/div>\n      \n      \u003Cdiv style=\"font-size:12px; color:#999; display:flex; align-items:center; gap:8px;\">\u003Cimg src=\"/favicon.ico\" style=\"width:16px;height:16px;\">岩淵夕希物智 公式ブログ\u003C/div>\n    \u003C/a>\n  \u003C/div>\n\u003C/div>\n\n\u003Cp>コラッツ問題は、奇数に対して「3倍して1を足す」という操作を行いますが、これは奇数の性質として、その結果が偶数になることがうまく働いています。逆に、仮に偶数に対して「3倍して1を足す」を行うと、結果は奇数になってしまい、次に2で割ることができなくなります。\u003C/p>\n\u003Cp>複素整数での偶奇性に着目すると、奇数・偶数の概念に4通りの選択肢が存在します。\u003C/p>\n\u003Cul>\n\u003Cli>実部が奇数で虚部も奇数\u003C/li>\n\u003Cli>実部が奇数で虚部が偶数\u003C/li>\n\u003Cli>実部が偶数で虚部が奇数\u003C/li>\n\u003Cli>実部が偶数で虚部も偶数\u003C/li>\n\u003C/ul>\n\u003Cp>実部も虚部も偶数ならば、2で割ることができます。実部も虚部も奇数の場合、3倍して1を足すと、実部も虚部も偶数になります。したがって、実部も虚部も奇数の場合に「3倍して1を足す」を適用するのは自然です。\u003C/p>\n\u003Cp>しかし、実部が奇数で虚部が偶数、あるいは実部が偶数で虚部が奇数の場合には、「3倍して1を足す」を適用すると、実部か虚部のどちらかが奇数のまま残ってしまいます。これでは次に2で割ることができません。\u003C/p>\n\u003Cp>このガウス整数の偶奇性は以前にも見覚えがあったので、その時の経験を活かして、複素数版のコラッツ問題を定義しました。\u003C/p>\n\u003Cp>前回の記事では、各象限で対称になるように定義しましたが、今回は以下のように定義します。（実部 \u003Cspan class=\"katex\">\u003Cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\">\u003Cspan class=\"base\">\u003Cspan class=\"strut\" style=\"height:0.4306em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span> と虚部 \u003Cspan class=\"katex\">\u003Cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\">\u003Cspan class=\"base\">\u003Cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6944em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">b\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span> がともに非負整数）\u003C/p>\n\u003Cp>また、挙動としては、対照的なものになりますので、基本的に \u003Cspan class=\"katex\">\u003Cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\">\u003Cspan class=\"base\">\u003Cspan class=\"strut\" style=\"height:0.7719em;vertical-align:-0.136em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mrel\">≥\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"base\">\u003Cspan class=\"strut\" style=\"height:0.6944em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">b\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span> とします。\u003C/p>\n\u003Cspan class=\"katex-display\">\u003Cspan class=\"katex\">\u003Cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\">\u003Cspan class=\"base\">\u003Cspan class=\"strut\" style=\"height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.10764em;\">f\u003C/span>\u003Cspan class=\"msupsub\">\u003Cspan class=\"vlist-t vlist-t2\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.3361em;\">\u003Cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1076em;margin-right:0.05em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">\u003Cspan class=\"mord text mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">complex\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan 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style=\"border-bottom-width:0.04em;\">\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-3.677em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mbin\">+\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">bi\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-s\">​\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.686em;\">\u003Cspan>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose nulldelimiter\">\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-3.7447em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.3714em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">3\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mbin\">+\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">1\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mbin\">+\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">3\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">bi\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-2.3047em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.3714em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">3\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mbin\">+\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mopen\">(\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">3\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">b\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mbin\">+\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">1\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose\">)\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">i\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-0.8647em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.3714em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">3\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mbin\">+\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">1\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mbin\">+\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mopen\">(\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">3\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">b\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mbin\">+\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">1\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose\">)\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">i\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-s\">​\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:2.9387em;\">\u003Cspan>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"arraycolsep\" style=\"width:1em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"col-align-l\">\u003Cspan class=\"vlist-t vlist-t2\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:3.4387em;\">\u003Cspan style=\"top:-5.4387em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.3714em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mopen\">(\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord cjk_fallback\">が偶数かつ\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">b\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord cjk_fallback\">が偶数\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose\">)\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-3.7447em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.3714em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mopen\">(\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord cjk_fallback\">が奇数かつ\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">b\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord cjk_fallback\">が偶数\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose\">)\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-2.3047em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.3714em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mopen\">(\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord cjk_fallback\">が偶数かつ\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">b\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord cjk_fallback\">が奇数\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose\">)\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-0.8647em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.3714em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mopen\">(\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord cjk_fallback\">それ以外\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose\">)\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-s\">​\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:2.9387em;\">\u003Cspan>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose nulldelimiter\">\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\n\u003Cp>偶奇判定以外に実部と虚部の関わりは入ってないため、ベクトルとして定義することもできます。\u003C/p>\n\u003Cspan class=\"katex-display\">\u003Cspan class=\"katex\">\u003Cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\">\u003Cspan class=\"base\">\u003Cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord mathnormal\" style=\"margin-right:0.10764em;\">f\u003C/span>\u003Cspan class=\"msupsub\">\u003Cspan class=\"vlist-t vlist-t2\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.2806em;\">\u003Cspan style=\"top:-2.55em;margin-left:-0.1076em;margin-right:0.05em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">\u003Cspan class=\"mord text mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">vector\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-s\">​\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\">\u003Cspan>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"mopen\">(\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003Cspan class=\"mpunct\">,\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">b\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose\">)\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"base\">\u003Cspan class=\"strut\" style=\"height:6.72em;vertical-align:-3.11em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"minner\">\u003Cspan class=\"mopen\">\u003Cspan class=\"delimsizing mult\">\u003Cspan class=\"vlist-t vlist-t2\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:3.55em;\">\u003Cspan style=\"top:-1.366em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.516em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"delimsizinginner delim-size4\">\u003Cspan>⎩\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-1.358em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.516em;\">\u003C/span>\u003Cspan style=\"height:1.516em;width:0.8889em;\">\u003Csvg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" width=\"0.8889em\" height=\"1.516em\" style=\"width:0.8889em\" viewBox=\"0 0 888.89 1516\" preserveAspectRatio=\"xMinYMin\">\u003Cpath d=\"M384 0 H504 V1516 H384z M384 0 H504 V1516 H384z\">\u003C/path>\u003C/svg>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-3.516em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.516em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"delimsizinginner delim-size4\">\u003Cspan>⎨\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-4.658em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.516em;\">\u003C/span>\u003Cspan style=\"height:1.516em;width:0.8889em;\">\u003Csvg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" width=\"0.8889em\" height=\"1.516em\" style=\"width:0.8889em\" viewBox=\"0 0 888.89 1516\" preserveAspectRatio=\"xMinYMin\">\u003Cpath d=\"M384 0 H504 V1516 H384z M384 0 H504 V1516 H384z\">\u003C/path>\u003C/svg>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-6.166em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.516em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"delimsizinginner delim-size4\">\u003Cspan>⎧\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-s\">​\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:3.05em;\">\u003Cspan>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mtable\">\u003Cspan class=\"col-align-l\">\u003Cspan class=\"vlist-t vlist-t2\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:3.61em;\">\u003Cspan style=\"top:-5.61em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.45em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"minner\">\u003Cspan class=\"mopen delimcenter\" style=\"top:0em;\">\u003Cspan class=\"delimsizing size3\">(\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mopen nulldelimiter\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mfrac\">\u003Cspan class=\"vlist-t vlist-t2\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:1.1076em;\">\u003Cspan style=\"top:-2.314em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-3.23em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"frac-line\" style=\"border-bottom-width:0.04em;\">\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-3.677em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-s\">​\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.686em;\">\u003Cspan>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose nulldelimiter\">\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"mpunct\">,\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mopen nulldelimiter\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mfrac\">\u003Cspan class=\"vlist-t vlist-t2\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:1.3714em;\">\u003Cspan style=\"top:-2.314em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-3.23em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"frac-line\" style=\"border-bottom-width:0.04em;\">\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-3.677em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">b\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-s\">​\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.686em;\">\u003Cspan>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose nulldelimiter\">\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose delimcenter\" style=\"top:0em;\">\u003Cspan class=\"delimsizing size3\">)\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-3.652em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.45em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"minner\">\u003Cspan class=\"mopen delimcenter\" style=\"top:0em;\">(\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">3\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mbin\">+\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">1\u003C/span>\u003Cspan class=\"mpunct\">,\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">3\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">b\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose delimcenter\" style=\"top:0em;\">)\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-2.212em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.45em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"minner\">\u003Cspan class=\"mopen delimcenter\" style=\"top:0em;\">(\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">3\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003Cspan class=\"mpunct\">,\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">3\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">b\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mbin\">+\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">1\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose delimcenter\" style=\"top:0em;\">)\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-0.772em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.45em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"minner\">\u003Cspan class=\"mopen delimcenter\" style=\"top:0em;\">(\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">3\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mbin\">+\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">1\u003C/span>\u003Cspan class=\"mpunct\">,\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">3\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">b\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mbin\">+\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">1\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose delimcenter\" style=\"top:0em;\">)\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-s\">​\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:3.11em;\">\u003Cspan>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"arraycolsep\" style=\"width:1em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"col-align-l\">\u003Cspan class=\"vlist-t vlist-t2\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:3.61em;\">\u003Cspan style=\"top:-5.61em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.45em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mopen\">(\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord cjk_fallback\">が偶数かつ\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">b\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord cjk_fallback\">が偶数\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose\">)\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-3.652em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.45em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mopen\">(\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord cjk_fallback\">が奇数かつ\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">b\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord cjk_fallback\">が偶数\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose\">)\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-2.212em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.45em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mopen\">(\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">a\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord cjk_fallback\">が偶数かつ\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord mathnormal\">b\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord cjk_fallback\">が奇数\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose\">)\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan style=\"top:-0.772em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3.45em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mopen\">(\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord cjk_fallback\">それ以外\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose\">)\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-s\">​\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:3.11em;\">\u003Cspan>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose nulldelimiter\">\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\n\u003Cp>こっちの方が見やすいかもしれません。\u003C/p>\n\u003Cp>たとえば、初期値 \u003Cspan class=\"katex\">\u003Cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\">\u003Cspan class=\"base\">\u003Cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mopen\">(\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">20\u003C/span>\u003Cspan class=\"mpunct\">,\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">32\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose\">)\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span> から始めると、以下のようになります。\u003C/p>\n\u003Cpre>\u003Ccode class=\"language-plaintext\">(20, 32), (10, 16), (5, 8), (16, 24), (8, 12), (4, 6), (2, 3), (6, 10), (3, 5), (10, 16), (5, 8), ...\n\u003C/code>\u003C/pre>\n\u003Cp>このように、既に通ってきた点に戻って来て、以降は同じループを繰り返します。\u003C/p>\n\u003Ch2>発散していそうな長い列\u003C/h2>\n\u003Cp>また、初期値 \u003Cspan class=\"katex\">\u003Cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\">\u003Cspan class=\"base\">\u003Cspan class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mopen\">(\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">3\u003C/span>\u003Cspan class=\"mpunct\">,\u003C/span>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.1667em;\">\u003C/span>\u003Cspan class=\"mord\">1\u003C/span>\u003Cspan class=\"mclose\">)\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span>\u003C/span> のような絶対値が小さい点から始めると、以下のようになります。\u003C/p>\n\u003Cpre>\u003Ccode class=\"language-plaintext\">(3, 1), (10, 4), (5, 2), (16, 6), (8, 3), (24, 10), (12, 5), (36, 16), (18, 8), (9, 4), (28, 12), (14, 6), (7, 3), (22, 10), (11, 5), (34, 16), (17, 8), (52, 24), (26, 12), (13, 6), (40, 18), (20, 9), (60, 28), (30, 14), (15, 7), (46, 22), (23, 11), (70, 34), (35, 17), (106, 52), (53, 26), (160, 78), (80, 39), (240, 118), (120, 59), (360, 178), (180, 89), (540, 268), (270, 134), (135, 67), (406, 202), (203, 101), (610, 304), (305, 152), (916, 456), (458, 228), (229, 114), (688, 342), (344, 171), (1032, 514), (516, 257), (1548, 772), (774, 386), (387, 193), (1162, 580), (581, 290), (1744, 870), (872, 435), (2616, 1306), (1308, 653), (3924, 1960), (1962, 980), (981, 490), (2944, 1470), (1472, 735), (4416, 2206), (2208, 1103), (6624, 3310), (3312, 1655), (9936, 4966), (4968, 2483), (14904, 7450), (7452, 3725), (22356, 11176), (11178, 5588), (5589, 2794), (16768, 8382), (8384, 4191), (25152, 12574), (12576, 6287), (37728, 18862), (18864, 9431), (56592, 28294), (28296, 14147), (84888, 42442), (42444, 21221), (127332, 63664), (63666, 31832), (31833, 15916), (95500, 47748), (47750, 23874), (23875, 11937), (71626, 35812), (35813, 17906), (107440, 53718), (53720, 26859), (161160, 80578), (80580, 40289), (241740, 120868), (120870, 60434), ...\n\u003C/code>\u003C/pre>\n\u003Cp>このように、非常に長い列が生成され、ループに入る気配がありません。\u003C/p>\n\u003Cp>察するに、通常のコラッツの問題（古典コラッツ問題と呼ぶとします）と違って、実部と虚部のどちらかが奇数である場合にも「3倍して1を足す」を適用するため、値が急激に増加しやすくなっている（減るタイミングが少ない）ようです。\u003C/p>\n\u003Ch2>ループ\u003C/h2>\n\u003Cp>一方で、いくつかのループも発見しました。\u003C/p>\n\u003Cpre>\u003Ccode class=\"language-plaintext\">(1, 0), (4, 0), (2, 0), (1, 0), ...\n\u003C/code>\u003C/pre>\n\u003Cp>これは古典コラッツ問題で必ず到達するループと同じです。\u003C/p>\n\u003Ch3>ほぼ自明なループ\u003C/h3>\n\u003Cpre>\u003Ccode class=\"language-plaintext\">(1, 1), (4, 4), (2, 2), (1, 1), ...\n\u003C/code>\u003C/pre>\n\u003Cp>これは、実部と虚部が等しい場合に自明に存在するループです。\u003C/p>\n\u003Ch3>短いループ\u003C/h3>\n\u003Cp>\u003Cimg src=\"/img/post/collatz-one-way-to-complexify-loop/1-loop-small.png\" alt=\"複素化されたコラッツ問題の短いループ\">\u003C/p>\n\u003Cp>以下のループは周期8と比較的短いループです。\u003C/p>\n\u003Cpre>\u003Ccode class=\"language-plaintext\">(3, 2), (10, 6), (5, 3), (16, 10), (8, 5), (24, 16), (12, 8), (6, 4), (3, 2), ...\n\u003C/code>\u003C/pre>\n\u003Cp>その他、周期13のループが5種類見つかりました。\u003C/p>\n\u003Cp>\u003Cimg src=\"/img/post/collatz-one-way-to-complexify-loop/2-loop-placement.png\" alt=\"\">\u003C/p>\n\u003Cp>この5種類を見比べると、実部と虚部の値が似ていることがわかります。\u003C/p>\n\u003Cp>挙動としてはおそらく、ループにちょうどいい値というものが存在していて、その周辺に似たループができているのだと考えられます。\u003C/p>\n\u003Ch3>とても長いループ\u003C/h3>\n\u003Cp>探索を続けていると、非常に長いループも見つかりました。\u003C/p>\n\u003Cp>以下のループは周期が75もあります。\u003C/p>\n\u003Cpre>\u003Ccode class=\"language-plaintext\">(59, 42), (178, 126), (89, 63), (268, 190), (134, 95), (402, 286), (201, 143), (604, 430), (302, 215), (906, 646), (453, 323), (1360, 970), (680, 485), (2040, 1456), (1020, 728), (510, 364), (255, 182), (766, 546), (383, 273), (1150, 820), (575, 410), (1726, 1230), (863, 615), (2590, 1846), (1295, 923), (3886, 2770), (1943, 1385), (5830, 4156), (2915, 2078), (8746, 6234), (4373, 3117), (13120, 9352), (6560, 4676), (3280, 2338), (1640, 1169), (4920, 3508), (2460, 1754), (1230, 877), (3690, 2632), (1845, 1316), (5536, 3948), (2768, 1974), (1384, 987), (4152, 2962), (2076, 1481), (6228, 4444), (3114, 2222), (1557, 1111), (4672, 3334), (2336, 1667), (7008, 5002), (3504, 2501), (10512, 7504), (5256, 3752), (2628, 1876), (1314, 938), (657, 469), (1972, 1408), (986, 704), (493, 352), (1480, 1056), (740, 528), (370, 264), (185, 132), (556, 396), (278, 198), (139, 99), (418, 298), (209, 149), (628, 448), (314, 224), (157, 112), (472, 336), (236, 168), (118, 84), (59, 42), ...\n\u003C/code>\u003C/pre>\n\u003Cp>\u003Cimg src=\"/img/post/collatz-one-way-to-complexify-loop/3-loop-large.png\" alt=\"複素化されたコラッツ問題のとても長いループ\">\u003C/p>\n\u003Cp>古典コラッツ問題で言う「27」から始まる遷移とは訳が違って、長い遷移ののちにいずれ1に到達するわけではなく、このループの中を永遠に回り続けます。\u003C/p>\n\u003Cp>このループは非常に長いですが、実際にはもっと長いループも存在する可能性があります。\u003C/p>\n\u003Cp>が、かなり広い範囲を探索しても見つからないため、非常に稀なループであることは間違いなさそうです。\u003C/p>\n\u003Ch2>まとめ\u003C/h2>\n\u003Cp>複素数版のコラッツ問題を定義し、いくつかのループと非常に長い列を発見しました。\nこの複素数版コラッツ問題の性質や、発見したループの特徴については、今後さらに研究を進めていきたいと考えています。\u003C/p>","\u003Ch1>コラッツ問題の複素化 (二次元化) で見つけた「似たループ」と「長いループ」\u003C/h1>\n\u003Cp>コラッツ問題は「偶数は2で割る、奇数は3倍して1を足す」という操作を繰り返すと、最終的に1に到達するかどうかを問う問題です。\u003C/p>\n\u003Cp>そして、コラッツ予想とは、全ての正の整数についてこの操作を繰り返すと最終的に1に到達する、という予想です。\u003C/p>\n\u003Cp>この予想は未解決問題として有名ですが、私はこのコラッツ問題を「複素数」（ガウス整数）に拡張する方法を考案しました。\u003C/p>\n\u003Cp>この拡張方法については、以前の記事「\u003Ca href=\"/post/collatz-one-way-to-complexify/\">これも一つのコラッツ問題の複素化\u003C/a>」で詳しく説明しています。\u003C/p>\n\u003Cdiv class=\"article-card\" style=\"max-width:960px; border:1px solid #e0e0e0; border-radius:8px; padding:12px; margin:16px 0; display:flex; gap:12px; align-items:flex-start;\">\n  \u003Cimg src=\"/img/post/collatz-one-way-to-complexify/hero.png\" alt=\"これも一つのコラッツ問題の複素化\" style=\"width:200px; height:125px; object-fit:cover; border-radius:4px; flex-shrink:0;\">\n  \u003Cdiv style=\"flex:1; min-width:0;\">\n    \u003Ca href=\"/post/collatz-one-way-to-complexify/\" style=\"text-decoration:none; color:inherit;\">\n      \u003Cdiv style=\"font-size:16px; font-weight:600; line-height:1.2rem; margin-bottom:6px; overflow:hidden; display:-webkit-box; -webkit-line-clamp:2; -webkit-box-orient:vertical;\">これも一つのコラッツ問題の複素化\u003C/div>\n      \n      \u003Cdiv style=\"font-size:12px; color:#999; display:flex; align-items:center; gap:8px;\">\u003Cimg src=\"/favicon.ico\" style=\"width:16px;height:16px;\">岩淵夕希物智 公式ブログ\u003C/div>\n    \u003C/a>\n  \u003C/div>\n\u003C/div>",1768521432035]