10進整数と「5乗して自分自身になる数」

投稿日: January 16, 2026

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10進整数と「5乗して自分自身になる数」

10進整数（10-adic integer）について、基本的な定義と性質、そして「5乗して自分自身になる数」などの具体例を紹介します。

10進整数は、p進整数環である2進整数環と5進整数環によって構成される数で、これが「自己同形数」などの数と深い関係を持っています。

お断りとして、ここでの内容はあくまで初歩的なまとめであり、正確性や完全性を保証するものではありません。専門的な詳細については他の文献を参照してください。（といっても文献が少ないとは思いますが…。）

10進整数とは

10進整数は、無限に続く10進数の列として表されます。各桁は0から9までの数字で構成され、無限に続くため、通常の整数とは異なります。

p進数については、天に向かって続く数という本が日本語では有名ですが、今回の内容とは少し異なる部分があるかとは思います。

10進整数の構成

10進整数は、以下のように構成されます：

各桁は0から9までの数字で表されます。
桁は右から左に向かって無限に続きます。
例えば、 $\dots 1234567890$ は10進整数の一例です。

具体例とその性質

$a, b, c, d, e, f$ の記号はOEISに登録されているものを参考にしていますが、 $r, s, t, u, v, w$ は適当に当てたものです。

上の桁は無限に続くため、ここでは下の桁から16桁分のみを示します。（さらに省略して4桁分のみ示す場合もあります。）面白いのは、その下位桁の部分だけを電卓で計算しても辻妻が合っていることなので、皆さんも検算がてら試してみてください。

0そのもの

$0 = \dots 0000000000000000$

1そのもの

$1 = \dots 0000000000000001$

マイナス1 に相当する数

$- 1 = \dots 9999999999999999$

2乗して自分自身になる数 (自己同形数)

2乗して自分自身になる数、つまり $x^{2} = x$ を満たす数ですが、これは $x (x - 1) = 0$ を満たす数であり、 $x = 0$ または $x = 1$ 以外にも存在します。

$a = \dots 6259918212890625$ (A018247 - OEIS)

$b = \dots 3740081787109376$ (A018248 - OEIS)

2乗して自分自身になる数の性質

$a^{2} = a = \dots 0625$

$b^{2} = b = \dots 9376$

$a^{3} = a = \dots 0625$

$b^{3} = b = \dots 9376$

$a + b = 1 = \dots 0001$

$a \times b = 0 = \dots 0000$

補足として、 $a \times b = 0$ となり、10進整数においては a と b は零因子 (zero divisor) であることがわかります。

3乗して初めて自分自身になる数

雰囲気としては -1 に近い数

$x^{3} = x$ を満たす数、つまり $x (x^{2} - 1) = 0$ を満たす数であり、 $x = 0$ 、 $x = 1$ 、 $x = - 1$ 以外にも存在します。

$c = \dots 2519836425781249$ (A091661 - OEIS)

$d = \dots 7480163574218751$ (A063006 - OEIS)

$e = \dots 3740081787109375$ (A091663 - OEIS)

$f = \dots 6259918212890624$ (A091664 - OEIS)

3乗して初めて自分自身になる数の性質

$c^{2} = 1 = \dots 0001$

$d^{2} = 1 = \dots 0001$

$e^{2} = a = \dots 0625$

$f^{2} = b = \dots 9376$

$c^{3} = c = \dots 1249$

$d^{3} = d = \dots 8751$

$e^{3} = e = \dots 9375$

$f^{3} = f = \dots 0624$

$c^{4} = 1 = \dots 0001$

$d^{4} = 1 = \dots 0001$

$e^{4} = a = \dots 0625$

$f^{4} = b = \dots 9376$

$c^{5} = c = \dots 1249$

$d^{5} = d = \dots 8751$

$e^{5} = e = \dots 9375$

$f^{5} = f = \dots 0624$

$2 a - 1 = c = \dots 1249$

$2 b - 1 = d = \dots 8751$

$c + d = 1 = \dots 0001$

$c \times d = - 1 = \dots 9999$

$b + c = a = \dots 0625$

$e + f = - 1 = \dots 9999$

$e \times f = 0 = \dots 0000$

$a + e = 0 = \dots 0000$ (A091663 では1と記載)

$b + f = 0 = \dots 0000$ (A091663 では1と記載)

$d + f = e = \dots 9375$

$a + f = c = \dots 1249$ $a = f + 1 = \dots 1250$

$b = e + 1 = \dots 9376$

$a \times f = 0 = \dots 0000$ (A091663 では-1と記載)

5乗して初めて自分自身になる数

雰囲気としては i または -i に近い数

$x^{5} = x$ を満たす数、つまり $x (x^{4} - 1) = 0$ を満たす数であり、 $x = 0$ 、 $x = 1$ 、 $x = - 1$ 、 $x = a$ 、 $x = b$ 以外にも存在します。

このあたりはまだ研究が進んでいないようですが、以下の数が知られています。（記号も適当に当てました。）

$r = \dots 3263499879186432$ (A120817 - OEIS)

$s = \dots 6736500120813568$ (A120818 - OEIS)

$t = \dots 7003581666295807$ (A290372 - OEIS)

$u = \dots 0476581907922943$ (A290373 - OEIS)

$v = \dots 9523418092077057$ (A290374 - OEIS)

$w = \dots 2996418333704193$ (A290375 - OEIS)

5乗して初めて自分自身になる数の性質

$r - a = t = \dots 5807$

$s - a = u = \dots 2943$

$r + a = v = \dots 7057$

$s + a = w = \dots 4193$

$r^{2} = f = \dots 0624$

$s^{2} = f = \dots 0624$

$t^{2} = c = \dots 1249$

$u^{2} = c = \dots 1249$

$v^{2} = c = \dots 1249$

$w^{2} = c = \dots 1249$

$r^{3} = s = \dots 3568$

$s^{3} = r = \dots 6432$

$t^{3} = u = \dots 2943$

$u^{3} = t = \dots 5807$

$v^{3} = w = \dots 4193$

$w^{3} = v = \dots 7057$

$r^{4} = b = \dots 9376$

$s^{4} = b = \dots 9376$

$t^{4} = 1 = \dots 0001$

$u^{4} = 1 = \dots 0001$

$v^{4} = 1 = \dots 0001$

$w^{4} = 1 = \dots 0001$

$r^{5} = r = \dots 6432$

$s^{5} = s = \dots 3568$

$t^{5} = t = \dots 5807$

$u^{5} = u = \dots 2943$

$v^{5} = v = \dots 7057$

$w^{5} = w = \dots 4193$

まとめ

10進整数は、無限に続く10進数の列として表され、独自の性質と操作を持っています。今後の研究で、さらに深い理解が進むことが期待されます。